DARING KELAS 10 MIPA TGL 3 FEBRUARI 2021 BAB VEKTOR

 

1. Pengertian Vektor

Soal dan Pembahasan Vektor Matematika SMA kelas 10. Sebelum kita masuk ke Soal dan Pembahasan vektor, kita akan melakukan review singkat tentang vektor matematika SMA kelas 10. Besaran vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah, seperti kecepatan, percepatan, gaya, berat dan lain-lain.
Besaran skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai besar saja, seperti panjang, lebar, massa, volume, dan lain-lain. Vektor yang akan dibahas di sini adalah vektor pada bidang yang dinotasikan dengan $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ dan vektor pada ruang yang dinotasikan dengan $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

1.1. Geometri Vektor
Secara geometris vektor dilukiskan sebagai anak panah dengan titik pangkal $A(a_1,a_2,a_3)$ dan titik ujung $B(b_1,b_2,b_3)$.
Lihat gambar!

1.2. Notasi Vektor
Untuk menuliskan vektor kita dapat menggunakan salah satu notasi seperti: $\overline{a}$, $\overrightarrow{a}$, $\overline{A}$, $\overrightarrow{A}$, $\overline{AB}$, dan $\overrightarrow{AB}$.

1.3. Bentuk Vektor
Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor baris, vektor basis,
dan vektor kolom.
a. Vektor baris: $\overline{a}=(a_1,a_2,a_3)$
b. Vektor basis: $\overline{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}$
c. Vektor kolom: $\overline{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$

1.4. Vektor Dengan Pangkal A dan Ujung B
Vektor dengan titik pangkal $A(a_1,a_2,a_3)$ dan titik ujung $B(b_1,b_2,b_3)$ dinotasikan dengan $\overline{AB}$, dengan

$\overline{AB}=\left(\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3\end{array}\right)$

2. Jenis-jenis Vektor

2.1. Vektor Nol
Sebuah vektor yang titik pangkal dan titik ujungnya berimpit (sama) disebut vektor nol, yang dinotasikan dengan $\overrightarrow{0}$. Vektor nol memiliki panjang nol dengan arah tak tentu. Contoh: $\overrightarrow{AA}$, $\overrightarrow{BB}$, dan lain-lain.

2.2. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan, ditulis $\hat{a}$ yang didefinisikan dengan: $\hat{a}=\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}$

3. Operasi Pada Vektor

3.1. Penjumlahan Dua Vektor

A. Secara geometris.
1. Dengan metode segitiga.
Letakkan pangkal dari salah satu vektor ke ujung dari vektor yang lain, kemudian hubungkan pangkal dari vektor pertama dengan ujung dari vektor kedua.
Perhatikan gambar!

2. Dengan metode jajargenjang.
Resultan $\overline{a}$ dan $\overline{b}$ adalah diagonal dari jajargenjang yang dibentuk oleh $\overline{a}$ dan $\overline{b}$.
Perhatikan gambar!

Penjumlahan dua vektor memiliki sifat-sifat yaitu:
(i). Sifat komutatif (pertukaran):
    $\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}$
(ii). Sifat assosiatif (pengelompokan):
    $(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})$
(iii). Unsur identitas yaitu $\overline{0}=(0,0,0)$
    $\overline{a}+\overline{0}=\overline{a}$
(iv). Invers tambah atau invers aditif.
     invers tambah dari vektor $\overline{a}$ adalah $-\overline{a}$
    $\overline{a}+(-\overline{a})=\overline{0}$

B. Secara analitis

Jika $\overline{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan $\overline{b}=(b_1,b_2,b_3)$, maka
$\left(i\right).\overline{a}+\overline{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$
$\left(ii\right).|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\theta$

3.2. Pengurangan Dua Vektor

A. Secara geometris.
1. Dengan metode segitiga.
Arah vektor yang dikurangkan dibalik dan pangkalnya diletakkan pada ujung vektor yang lain.
Perhatikan gambar!

2. Dengan metode jajargenjang.

B. Secara analitis.
Jika $\overline{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan $\overline{b}=(b_1,b_2,b_3)$, maka:
$\left(i\right).\overline{a}-\overline{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$
$\left(ii\right).|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\theta$

3.3. Perkalian Dua Vektor

A. Perkalian skalar
Misalkan vektor $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$ dan $k$ merupakan bilangan real,
maka $k\overrightarrow{a}=k\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$
B. Perkalian titik atau dot
Jika vektor $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan vektor $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$, maka:
$\Rightarrow$ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3)$
$\Rightarrow$ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|cos\theta$
dimana θ adalah sudut antara vektor $\overrightarrow{a}$ dan $\overrightarrow{b}$
Lihat gambar!

Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor
1. Sifat komutatif: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$
2. $m(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(m\overrightarrow{a}).\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}.(m\overrightarrow{b})$
3. Sifat distributif:
(I). $\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$
(II). $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}$
4. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}{|}^2$

C. Perkalian silang
Jika vektor $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan vektor $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$, maka:
perkalian silang ditulis $\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$ dirumuskan:
$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$
$=(a_2{b}_3-a_3{b}_2)\hat{i}+(a_3{b}_1-a_1{b}_3)\hat{j}+(a_1{b}_2-b_2{a}_1)\hat{k}$

3.4. Perbandingan Koordinat dan Perbandingan Vektor

Lihat gambar!

$x=\frac{m{x}_2+n{x}_1}{m+n}$
$y=\frac{m{y}_2+n{y}_1}{m+n}$
$z=\frac{m{z}_2+n{z}_1}{m+n}$

$\overrightarrow{c}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$

3.5. Proyeksi Orthogonal Vektor $\overrightarrow{a}$ pada Vektor $\overrightarrow{b}$

Misalkan vektor $\overrightarrow{a}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$ adalah vektor-vektor sembarang pada bidang atau pada ruang, dan vektor $\overrightarrow{c}$ adalah proyeksi vektor $\overrightarrow{a}$ pada vektor $\overrightarrow{b}$.

A. Proyeksi skalar orthogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$, adalah $\overrightarrow{c}$ yang ditentukan oleh:

$|\overrightarrow{c}|=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$

B. Proyeksi vektor orthogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$, adalah $\overrightarrow{c}$ yang ditentukan oleh:

$\overrightarrow{c}=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\overrightarrow{b}$

3.6. Rumus Panjang Vektor

Besar dan panjang vektor ditulis sebagai |$\overline{a}$| atau |$\overrightarrow{a}$|, sedangkan panjang vektor $\overrightarrow{AB}$ ditulis sebagai |$\overrightarrow{AB}$| atau |$\overline{AB}$|. Misalkan $\overline{a}=(a_1,a_2,a_3)$ maka panjang vektor $\overline{a}$ didefinisikan sebagai: |$\overline{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

3.7. Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor disebut sama jika panjang dan arah vektor sama. Vektor tidak tergantung pada letaknya, tetapi tergantung pada panjang dan arahnya.
Misalkan vektor $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan vektor $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$.
$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ jika $a_1=b_1,a_2=b_2,a_3=b_3$

4. Pengertian Vektor posisi

Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal di titik asal O(0, 0). Vektor posisi dari titik A, B, C, dan D sering ditulis $\overline{a}$, $\overline{b}$, $\overline{c}$, $\overline{d}$ dan seterusnya.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

5. Pengertian Vektor Koliner

Tiga buah titik A, B, dan C segaris (koliner) jika dan hanya jika $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BC}$ dengan k bilangan real tidak nol.

LATIHAN

Diketahui vektor 

→a=ˆi+2ˆj−3ˆk, 

→b=3ˆi+5ˆk, 

→c=−2ˆi−4ˆj+ˆk, dan 

→u=2→a+→b−→c. Vektor →u adalah ⋯⋅

jawabannya di foto dan dikirim ke wa bu hanum