BAB 2 PERSAMAAN KUADRAT

 

Persamaan Kuadrat – Pengertian, Macam, Sifat, Rumus, Contoh Soal

Pengertian Kuadrat

Di dalam matematika, Kuadrat itu berarti akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x.

 

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat yaitu merupakan suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Bentuk umumnya adalah: Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta a ≠ 0. Penyelesaian atau pemecahan dari sebuah persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Macam – Macam Akar Persamaan Kuadrat

Untuk menentukan macam – macam akar persamaan kuadrat, kita juga dapat menggunakan rumus D = b2 – 4ac. Jika terbentuk nilai D maka kita akan dengan mudah kita menemukan akar – akarnya. Berikut ini beberapa jenis persamaan kuadrat secara umum :

1. Akar Real ( D ≥ 0 ) :

»Akar real berlainan bila = D > 0

Contoh :

Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :

• x2 + 4x + 2 = 0 !

Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 4x + 2 = 0

Diketahui :

• a = 1
• b = 4
• c = 2

Jawab :

• D = b2 – 4ac
• D = 42 – 4(1)(2)
• D = 16 – 8
• D = 8 ( D>8, maka akarnya pun merupakan akar real tapi berbeda )

»Akar real sama x1 = x2 bila D = 0

Contoh :
Buktikan bahwa persamaan berikut ini memiliki akar real kembar :

• 2×2 + 4x + 2 = 0

Penyelesaian :
Dari persamaan = 2×2 + 4x + 2 = 0

Diketahui :

• a = 2
• b = 4
• c = 2

Jawab :

• D = b2 – 4ac
• D = 42 – 4(2)(2)
• D = 16 – 16
• D = 0 ( D=0, terbukti bahwa akar real dan kembar )

2. Akar Imajiner/ Tidak Real ( D < 0 )

 

Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :

• x2 + 2x + 4 = 0 !

Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 2x + 4 = 0

Diketahui :

• a = 1
• b = 2
• c = 4

Jawab :

• D = b2 – 4ac
• D = 22 – 4(1)(4)
• D = 4 – 16
• D = -12 ( D<0, maka akar-akarnya adalah tidak real )

3. Akar Rasional ( D = k2 )

Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :

•  x2 + 4x + 3 = 0

Penyelesaian :

Dari Persamaan =  x2 + 4x + 3 = 0

Diketahui :

• a = 1
• b = 4
• c = 3

Jawab :

• D = b2 – 4ac
• D = 42 – 4(1)(3)
• D = 16 – 12
• D = 4 = 22 = k2   ( Karena D=k2=4 maka akar persamaan adalah akar rasional )

Sifat – Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat juga mempunyai beberapa jenis – jenisnya, yaitu sebagai berikut :

Akar – akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai diskriminan (D = b2 – 4ac) yang membedakan jenis akar – akar persamaan kuadrat menjadi 3, yaitu :

1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan.

• Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.
• Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya irasional.

2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional.
3. Jika D < O, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner).
4. Bentuk perluasan untuk akar – akar real :

1. Kedua Akar Positif :

• D ≥ 0

x1 + x2 > 0

x1 x2 > 0

2. Kedua Akar Negatif :

• D ≥ 0

x1 + x2 < 0

x1 x2 > 0

3. Kedua Akar Berlainan Tanda :

• D > 0

x1 x2 < 0

4. Kedua Akar Bertanda Sama :

• D ≥ 0

x1 x2 > 0

5. Kedua Akar Saling Berlawanan :

• D > 0

x1 + x2 = 0 (b = 0)

x1 x2 < 0

6. Kedua Akar Saling Berkebalikan :

• D > 0

x1 + x2 = 1 (c = a)

Contoh Soal Akar Persamaan Kuadrat

Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :

• x2 + 4x + 2 = 0 !

Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 4x + 2 = 0

Diketahui :

• a = 1
• b = 4
• c = 2

Jawab :

• D = b2 – 4ac
• D = 42 – 4(1)(2)
• D = 16 – 8
• D = 8 ( D>8, maka akarnya pun merupakan akar real tapi berbeda )

LATIHAN SOAL

 Perhatikan persamaan-persamaan berikut

(i) x² + 3x – 54 = 0

(ii) x² – 8x + 16 = 0

(iii) 2x² + 5x + 11 = 0

(iv) 3x² – 7x + 4 = 0

Persamaan kuadrat yang mempunyai akar real adalah….

a. (i) dan (iii)                    

b. (i) dan (iv)                    
c. (i), (ii) dan (iii)
d. (i), (ii) dan (iv)