DARING KELAS 11 MATEMATIKA WAJIB TGL 3 AGUSTUS 2021 MATERI INDUKSI MATEMATIKA

 

Konsep, Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Maksud dari induksi matematika adalah membuktikan sesuatu yang umum, diturunkan dari beberapa hal yang khusus, dan cara ini berlaku untuk semua n$n$ bilangan asli.

Untuk membuktikan bahwa suatu rumus berlaku untuk semua bilangan asli, cara pembuktiannya diperlukan 2 tahapan, yaitu:

1. Tunjukkan benar untuk n=1$n=1$
2. Tunjukkan benar untuk n=k$n=k$ dan benar juga untuk n=k+1$n=k+1$

Jika kedua syarat tersebut terpenuhi, maka rumus tersebut benar untuk setian n∈N$n\in N$.

Berikut ini saya sajikan beberapa contoh pembuktian dengan induksi matematika meliputi pembuktian deret bilangan dan pembuktian pertidaksamaan

Contoh 1 

Buktikan bahwa jumlah n$n$ suku pertama bilangan ganjil adalah n2$n^2$

 Pembahasan:

Pernyataan pada soal di atas dapat ditulis:

1+3+5+⋯+(2n−1)∑i=1n(2i−1)=n2=n2$\begin{array}{rl}1+3+5+\cdots +(2n-1)& =n^2\\ \sum _{i=1}^n\left(2i-1\right)& =n^2\end{array}$ 

Langkah 1

Untuk n=1$n=1$, ∑i=1n(2i−1)=1=12${\displaystyle \sum _{i=1}^n(2i-1)=1=1^2}$ (Benar)

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas berlaku untuk n=k$n=k$, maka:

∑i=1k(2i−1)=k2${\displaystyle \sum _{i=1}^k(2i-1)=k^2}$   (Hipotesis)

Berdasarkan hipotesis diatas, akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut benar juga untuk n=k+1$n=k+1$, maka haruslah ∑i=1k+1(2i−1)=(k+1)2${\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}(2i-1)=(k+1{)}^2}$

kita akan bekerja di ruas kiri

∑i=1k+1(2i−1)=∑i=1k(2i−1)+∑i=k+1k+1(2i−1)=k2+{2(k+1)−1}=k2+2k+1=(k+1)2$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{k+1}(2i-1)& =\sum _{i=1}^k(2i-1)+\sum _{i=k+1}^{k+1}(2i-1)\\ & =k^2+\left\{2(k+1)-1\right\}\\ & =k^2+2k+1\\ & =(k+1{)}^2\end{array}$

Karena pernyataan di atas benar untuk n=1$n=1$ dan n=k+1$n=k+1$, maka ∑i=1n(2i−1)=n2${\displaystyle \sum _{i=1}^n(2i-1)=n^2}$ adalah benar.

Contoh 2:
Buktikan bahwa:
12+22+32+⋯+n=16n(n+1)(2n+1)$1^2+2^2+3^2+\cdots +n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

 Pembahasan:
Pernyataan pada soal di atas dapat ditulis:

∑i=1ni2=16n(n+1)(2n+1)$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

Langkah 1
Untuk n=1$n=1$, 
∑i=11i21=16(1)(1+1)(2+1)=1  (Benar)$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^1{i}^2& =\frac{1}{6}(1)(1+1)(2+1)\\ 1& =1\text{ (Benar)}\end{array}$

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk n=k$n=k$, yaitu:
∑i=1ki2=16k(k+1)(2k+1)${\displaystyle \sum _{i=1}^k{i}^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)}$  (Hipotesis)

Untuk n=k+1$n=k+1$ maka haruslah
∑i=1k+1i2=16(k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1}=16(k+1)(k+2)(2k+3)$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{k+1}{i}^2& =\frac{1}{6}(k+1)\left\{(k+1)+1\right\}\left\{2(k+1)+1\right\}\\ & =\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\end{array}$

 Contoh 3:
Buktikan ∑i=1ni=n2(n+1)${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=\frac{n}{2}(n+1)}$

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk n=1$n=1$, maka 
n2(n+1)=12(1+1)=1$\frac{n}{2}(n+1)=\frac{1}{2}(1+1)=1$   (Benar)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk n=k$n=k$, yaitu:

∑i=1ki=k2(k+1)${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}i=\frac{k}{2}(k+1)}$  (Hipotesis)

Untuk n=k+1$n=k+1$ jumlahnya haruslah:

∑i=1k+1i=k+12{(k+1)+1}=(k+12)(k+2)$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{k+1}i& =\frac{k+1}{2}\left\{(k+1)+1\right\}\\ & =\left(\frac{k+1}{2}\right)(k+2)\end{array}$

Contoh 4:
Buktikan bahwa 13+23+33+⋯+n3=14n2(n+1)2${\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\frac{1}{4}{n}^2{\left(n+1\right)}^2}$

Pembahasan:

Langkah 1
Untuk n=1$n=1$, maka
1311=14(12)(1+1)2=14(1)(4)=1  (Benar)$\begin{array}{rl}{1}^3& =\frac{1}{4}(1^2)(1+1{)}^2\\ 1& =\frac{1}{4}(1)(4)\\ 1& =1\text{ (Benar)}\end{array}$

Langkah 2
Misalkan benar untuk n=k$n=k$, yaitu:
13+23+33+⋯+k3=14k2(k+1)2${\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +k^3=\frac{1}{4}{k}^2(k+1{)}^2}$

akan dibuktikan untuk n=k+1$n=k+1$

=14(k+1)2((k+1)+1)2

$\mathrm{<br>}$

$$