DARING KELAS 11 MATEMATIKA WAJIB TGL 24 AGUSTUS 2021 MATERI PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA

 

Bentuk Penerapan Induksi Matematika

Dalam belajar materi induksi matematika kita harus mengetahui juga penerapan dari induksi matematika. Beberapa penerapan induksi matematika yaitu pada penerapan induksi matematika barisan bilangan, penerapan induksi matematika pada keterbagian, dan penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan (ketaksamaan). Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal dan pembahasan penerapan induksi matematika

Untuk n bilangan asli, x ≠ 1, buktikan dengan induksi matematika bahwa xⁿ – 1 habis dibagi (x – 1).

Pembahasan:

Misalkan P(n) = xn – yn .

Untuk membuktikan P(n) = xⁿ – 1 habis dibagi (x  –  1), artinya P(n) dapat dituliskan sebagai kelipatan x – 1.

Oleh karena itu, akan ditunjukkan P(n) = xⁿ – 1 memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

 

Langkah Awal :

Untuk n = 1, sangat jelas bahwa x – 1 = (x – 1) × 1.

Demikian halnya untuk n = 1 diperoleh bahwa x² – 1 = (x – 1)(x + 1). Artinya jelas bahwa P(2) = x² – 1 habis dibagi (x – 1).

 

Langkah Induksi :

Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P(2) benar. Karena P(2) benar, maka P(3) juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi yang diperoleh untuk n pangkatt 3.

• Untuk n = 3, maka x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1 ).
• Untuk n = 4, maka x⁴ – 1= (x – 1)(x³ + x² + x + 1).
• Untuk n = 5, maka x⁵ – 1 = (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1).

Jadi untuk n = k, maka P(k) = x^k – 1 = (x – 1)(x^{k – 1} + 1).

Oleh karena itu, disimpulkan bahwa P(k) = x^k – 1 habis dibagi x – 1. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa P(k – 1) = x^{k – 1} – 1 juga habis dibagi (x – 1).

Contoh Soal Induksi Matematika

Contoh soal induksi matematika terdiri dari soal induksi matematika dan pembahasan induksi matematika. Berikut 3 Contoh Soal Induksi Matematika

1. Buktikan bahwa pernyataan berikut ini adalah salah. Jika n bilangan asli, maka terdapat paling sedikit satu bilangan prima p sedemikian sehingga n < p < n + 3.

Pembahasan Induksi Matematika

Pembuktian secara langsung :

Misalkan n = 19, maka n + 3 = 22

Ternyata tidak berlaku 19 < p < 22 karena tidak ada bilangan prima antara 19 dan 22.

 

2. Salah satu faktor dari n³ – 1 adalah 1, n bilangan asli.

Pembahasan Induksi Matematika

Pembuktian secara langsung:

n³ – 1 = (n – 1)( n² + n + 1), di mana n = 1.

Jadi terbukti bahwa salah satu faktor dari n³ – 1 adalah 1.

 

3. Diberikan a > 2, buktikan aⁿ > 0, n bilangan bulat positif.

Pembahasan Induksi Matematika

Langkah Awal :

Untuk a > 2, sangat jelas bahwa aⁿ > 0

Demikian halnya untuk a = 3 diperoleh bahwa 3ⁿ > 0. Artinya jelas bahwa P(2) = 3² > 0

 

Langkah Induksi :

Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P(2) benar. Karena P(2) benar, maka P(3) juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi yang diperoleh untuk n pangkatt 3.

• Untuk n = 3, maka 3³ = 27 > 0.
• Untuk n = 4, maka 3⁴ = 81 > 0
• Untuk n = 5, maka 3⁵ = 273 > 0

Jadi untuk n = k, maka P(k) = 3^k > 0.

Oleh karena itu, disimpulkan bahwa P(k) = a^k – 1 > 0. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa P(k – 1) = a^{k – 1} > 0.

hari ini tidak ada tugas tetapi kalian pahami materi di atas dan jangan lupa mengisi absen di grup

terimakasih