DARING KELAS 11 MATEMATIKA WAJIB TGL 27 JULI 2021 MATERI INDUKSI MATEMATIKA

Pengertian Induksi Matematika

 Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku dalam matematika. Melalui induksi Matematika, kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah. Prinsip induksi matematika memiliki efek domino (jika domino disusun berjajar dengan jarak tertentu, saat satu ujung domino dijatuhkan ke arah donimo lain, maka semua domino akan jatuh satu per satu). 

 Dengan induksi matematika kita dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, tetapi bukan untuk menemukan suatu formula atau rumus. Modul ini akan membahas tentang prinsip induksi matematik, metode pembuktiannya, dan penerapan induksi matematika pada pembuktian rumus jumlah barisan (deret), keterbagian, dan ketidaksamaan.

PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA
Untuk membuktikan bahwa P(n)$P(n)$ benar untuk semua bilangan bulat positif n$n$ maka dilakukan dua langkah
LANGKAH DASAR; Buktikan bahwa P(1)$P(1)$ benar
LANGKAH INDUKTIF; Tunjukkan bahwa P(k)→P(k+1)$P(k)\to P(k+1)$ adalah pernyataan benar untuk semua bilangan bulat positif    Asumsi bahwa 

P(k)$P(k)$ benar pada langkah induktif disebut hipotesis induktif.

Contoh Pembuktian dengan Induksi Matematika

Pembuktian Formula Penjumlahan
Penggunaan induksi matematika pada bagian ini adalah untuk membuktian beberapa sifat pada penjumlahan. Seperti yang diketahui, induksi matematika cocok dengan pembuktian untuk sifat demikian .

Akan tetapi tidak menutup kemungkinan pembuktian dengan cara yang selain induksi matematika seperti layaknya sebuah teorema yang memiliki banyak alternatif pilihan pembuktian.

Contoh Soal 1
Tunjukkan bahwa jika n$n$ adalah bilangan bulat pertama maka

1+2+⋯+n=n(n+1)2$$1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Pembahasan Contoh Soal 1
Misalkan P(n)$P(n)$ adalah pernyataan bahwa jumlah n$n$ bilangan bulat positif pertama adalah n(n+1)2$\frac{n(n+1)}{2}$.

Untuk melakukan pembuktian ini, Anda harus menunjukkan bahwa P(n)$P(n)$ berlaku untuk n=1,2,3,⋯$n=1,2,3,\cdots$.

Anda harus menunjukkan P(1)$P(1)$ benar dan pernyataan implikasi jika P(k)$P(k)$ maka P(k+1)$P(k+1)$ adalah benar untuk semua k=1,2,3,⋯$k=1,2,3,\cdots$
LANGKAH DASAR; Karena 1=1(1+1)2$1=\frac{1(1+1)}{2}$ maka P(1)$P(1)$ benar.
LANGKAH INDUKTIF; Misalkan P(k)$P(k)$ benar untuk k$k$ sebarang bilangan bulat positif. Yaitu Anda mengasumsikan bahwa

1+2+⋯+k=k(k+1)2$$1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2}$$

Selanjutnya akan ditunjukkan P(k+1)$P(k+1)$ benar, yaitu

1+2+3+⋯+k+(k+1)=(k+1)[(k+1)+1]2=(k+1)(k+2)2$$1+2+3+\cdots +k+(k+1)=\frac{(k+1)\left[(k+1)+1\right]}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

Berdasarkan asumsi P(k)$P(k)$ tadi, diperoleh

1+2+3+⋯+k+(k+1)===k(k+1)2+(k+1)k(k+1)+2(k+1)2(k+1)(k+2)2$$\begin{array}{lcl}1+2+3+\cdots +k+(k+1)& =& \frac{k(k+1)}{2}+(k+1)\\ & =& \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}\\ & =& \frac{(k+1)(k+2)}{2}\end{array}$$

Persamaan terakhir melihatkan bahwa P(k+1)$P(k+1)$ adalah benar dengan asumsi P(k)$P(k)$ benar.

Berdasarkan langkah di atas, Anda sudah mnegerjakan pembuktian langkah dasar dan langkah induktif dari induksi matematika. Oleh karena itu, berdasarkan prinsip pembuktian induksi matematika terbukti pernyataan P(n)$P(n)$ benar untuk semua bilangan bulat positif n$n$, yaitu 1+2+⋯+n=n(n+1)2$1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. ■$◼$

Sebagai informasi untuk Anda, induksi matematika bukan merupakan suatu alat untuk menemukan sifat, lemma ataupun teorema yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif n$n$.

Induksi matematika lebih cocok sebagai metode pembuktian suatu dugaan yang dihasilkan dari suatu fenomena atau percobaan.

Contoh Soal 2
Beri dugaan untuk memberikan formula jumlahan n$n$ bilangan bulat positif ganjil pertama. Kemudian buktikan dugaan Anda dengan induksi matematika.

Pembahasan Contoh Soal 2
Jumlahan n$n$ bilangan bulat ganjil positif pertama untuk n=1,2,3,4,5$n=1,2,3,4,5$ adalah

1=11+3+5+7=161+3=41+3+5+7+9=251+3+5=9$\begin{array}{lll}1=1& 1+3=4& 1+3+5=9\\ 1+3+5+7=16& 1+3+5+7+9=25& \end{array}$

Hasil yang Anda peroleh pada jumlahan 5 bilangan bulat ganjil positif pertama di atas merupakan alasan yang logis jika dugaan formula yang dimaksud adalah n2$n_2$.

Anda perlu suatu metode untuk membuktikan dugaan Anda. Induksi matematika yang akan kita gunakan kali ini.

Misalkan P(n)$P(n)$ adalah pernyataan bahwa jumlahan n$n$ bilangan bulat positif ganjil pertama adalah n2$n^2$. Jadi dugaan adalah P(n)$P(n)$ adalah benar untuk semua bilangan bulat positif.

Langkah pembuktian induksi matematika untuk P(n)$P(n)$ sebagai berikut
LANGKAH DASAR; P(1)$P(1)$ menyatakan bahwa jumlah bilangan bulat positif ganjil pertama adalah 12$1^2$. Hal ini benar karena jumlahan bilangan bulat positif pertama adalah 1.
LANGKAH INDUKTIF; Langkah induksi matematika pada bagian ini adalah menunjukkan proposisi P(k)→P(k+1)$P(k)\to P(k+1)$ benar untuk setiap bilangan bulat positif k$k$.
Langkah pertama adalah mengasumsikan bahwa P(k)$P(k)$ benar yaitu untuk setiap bilangan bulat positif k$k$ berlaku

1+3+5+⋅+(2k−1)=k2$$1+3+5+\cdot +(2k-1)=k^2$$

Rumusan di atas menunjukkan bahwa bilangan bulat positif ganjil ke-k$k$ adalah (2k−1)$(2k-1)$.
Akan ditunjukkan bahwa P(k+1)$P(k+1)$ benar, yaitu

1+3+5+⋯+(2k−1)+(2k+1)=(k+1)2$$1+3+5+\cdots +(2k-1)+(2k+1)=(k+1{)}^2$$

Jadi jika diasumsikan P(k)$P(k)$ benar maka diperoleh

1+3+5+⋯+(2k−1)+(2k+1)====[1+3+⋯+(2k−1)]+(2k+1)k2+(2k+1)k2+2k+1(k+1)2$$\begin{array}{lll}1+3+5+\cdots +(2k-1)+(2k+1)& =& \left[1+3+\cdots +(2k-1)\right]+(2k+1)\\ & =& k^2+(2k+1)\\ & =& k^2+2k+1\\ & =& (k+1{)}^2\end{array}$$

Berdasarkan prinsip induksi matematika, pembuktian P(n)$P(n)$ benar untuk semua bilangan bulat positif. Yaitu 1+3+⋯+(2n−1)=n2$1+3+\cdots +(2n-1)=n^2$ untuk bilangan bulat positif n$n$. ■$◼$

Seringkali, Anda akan dihadapkan masalah untuk membuktikan P(n)$P(n)$ benar untuk n=b,b+1,b+2,⋯$n=b,b+1,b+2,\cdots$ dengan b$b$ adalah bilangan bulat selain 1.

Anda tetap dapat melakukan pembuktian tersebut dengan induksi matematika selama Anda merubah langkah dasar P(1)$P(1)$ diganti dengan P(b)$P(b)$.

Dengan kata lain, Induksi matematika untuk membuktikan P(n)$P(n)$ benar untuk n=b,b+1,b+2,⋯$n=b,b+1,b+2,\cdots$ untuk b≠1$b\ne 1$ adalah membuktikan P(b)$P(b)$ pada langkah dasar. Selanjutnya langkah induktif membuktikan pernyataan P(k)→P(k+1)$P(k)\to P(k+1)$ benar untuk k=b,b+1,b+2,⋯$k=b,b+1,b+2,\cdots$.

LATIHAN 
Tunjukkan dengan induksi matematika bahwa

1+2+22+⋯+2n=2n+1−1$$$$

untuk semua bilangan bulat tak-negatif.

    hasil pekerjaan kalian nanti foto dan dikirim ke bu hanum

selamat mengerjakan 

absen kehadiran 

https://forms.gle/er8tPbEAGhaxmF6w7