Persamaan Kuadrat – Pengertian, Macam, Sifat, Rumus, Contoh Soal
Pengertian Kuadrat
Di dalam matematika, Kuadrat itu berarti akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x.
Pengertian Persamaan Kuadrat
Macam – Macam Akar Persamaan Kuadrat
Untuk menentukan macam – macam akar persamaan kuadrat, kita juga dapat menggunakan rumus D = b2 – 4ac. Jika terbentuk nilai D maka kita akan dengan mudah kita menemukan akar – akarnya. Berikut ini beberapa jenis persamaan kuadrat secara umum :
1. Akar Real ( D ≥ 0 ) :
»Akar real berlainan bila = D > 0
Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :
- x2 + 4x + 2 = 0 !
Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 4x + 2 = 0
Diketahui :
- a = 1
- b = 4
- c = 2
Jawab :
- D = b2 – 4ac
- D = 42 – 4(1)(2)
- D = 16 – 8
- D = 8 ( D>8, maka akarnya pun merupakan akar real tapi berbeda )
»Akar real sama x1 = x2 bila D = 0
Contoh :
Buktikan bahwa persamaan berikut ini memiliki akar real kembar :
- 2×2 + 4x + 2 = 0
Penyelesaian :
Dari persamaan = 2×2 + 4x + 2 = 0
Diketahui :
- a = 2
- b = 4
- c = 2
Jawab :
- D = b2 – 4ac
- D = 42 – 4(2)(2)
- D = 16 – 16
- D = 0 ( D=0, terbukti bahwa akar real dan kembar )
2. Akar Imajiner/ Tidak Real ( D < 0 )
Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :
- x2 + 2x + 4 = 0 !
Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 2x + 4 = 0
Diketahui :
- a = 1
- b = 2
- c = 4
Jawab :
- D = b2 – 4ac
- D = 22 – 4(1)(4)
- D = 4 – 16
- D = -12 ( D<0, maka akar-akarnya adalah tidak real )
3. Akar Rasional ( D = k2 )
Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :
- x2 + 4x + 3 = 0
Penyelesaian :
Dari Persamaan = x2 + 4x + 3 = 0
Diketahui :
- a = 1
- b = 4
- c = 3
Jawab :
- D = b2 – 4ac
- D = 42 – 4(1)(3)
- D = 16 – 12
- D = 4 = 22 = k2 ( Karena D=k2=4 maka akar persamaan adalah akar rasional )
Sifat – Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Persamaan Kuadrat juga mempunyai beberapa jenis – jenisnya, yaitu sebagai berikut :
Akar – akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai diskriminan (D = b2 – 4ac) yang membedakan jenis akar – akar persamaan kuadrat menjadi 3, yaitu :
- Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan.
- Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.
- Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya irasional.
- Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional.
- Jika D < O, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner).
- Bentuk perluasan untuk akar – akar real :
1. Kedua Akar Positif :
- D ≥ 0
x1 + x2 > 0
x1 x2 > 0
2. Kedua Akar Negatif :
- D ≥ 0
x1 + x2 < 0
x1 x2 > 0
3. Kedua Akar Berlainan Tanda :
- D > 0
x1 x2 < 0
4. Kedua Akar Bertanda Sama :
- D ≥ 0
x1 x2 > 0
5. Kedua Akar Saling Berlawanan :
- D > 0
x1 + x2 = 0 (b = 0)
x1 x2 < 0
6. Kedua Akar Saling Berkebalikan :
- D > 0
x1 + x2 = 1 (c = a)
Contoh Soal Akar Persamaan Kuadrat
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :
- x2 + 4x + 2 = 0 !
Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 4x + 2 = 0
Diketahui :
- a = 1
- b = 4
- c = 2
Jawab :
- D = b2 – 4ac
- D = 42 – 4(1)(2)
- D = 16 – 8
- D = 8 ( D>8, maka akarnya pun merupakan akar real tapi berbeda )
c. (i), (ii) dan (iii)
d. (i), (ii) dan (iv)